Tests d’hypothèses- Généralités

Introduction

Les tests permettent de vérifier la validité de certaines hypothèses faites sur un ou plusieurs paramètres et peuvent être relatifs à une ou plusieurs populations. On peut differencier les tests suivant les hypothèses à tester :

–  tests de conformité : comparer le paramètre inconnu à une valeur théorique.

–  tests d’égalité : comparer entre eux les paramètres de différentes populations.

–  tests d’ajustement : vérifier si la variable observée suit une loi théorique donnée.

– tests d’indépendance : contrôler l’indépendance de deux (ou plusieurs) variables issues d’une même population.

Les deux  premiers sont des tests  paramétriques alors que les deux derniers des tests  non paramétriques.

Vocabulaire et Généralités

• Test d’hypothèses

Un test consiste à confronter deux hypothèses sur la base de l’information dont on dispose grâce à l’observation de l’échantillon. Un test est compose de 4 éléments :

-observations

-le modèle statistique d’où proviennent les données dépendant d’un paramètre inconnu

-une hypothèse principale portant sur θ, appelée hypothèse nulle

-une règle de décision : on accepte H₀ si T (x₁, . . . , x_n) ∈ W, où W est une zone de valeurs improbable pour T (x₁, . . . , x_n) sous H₀, appelée région de rejet.

• Hypothèses

On considère le modèle paramétrique (Ω, A{P_θ, θ ∈ Θ}) et T (x₁, . . . , x_n)  une fonction des observations à valeurs dans E. On sélectionne deux parties de Θ : Θ₀ et Θ₁ disjointes, mais pas forcement complémentaires et on définit :

–  H₀ : θ ∈ Θ₀ : hypothèse nulle

–  H₁ : θ ∈ Θ₁ : hypothèse alternative, ie non H₀.

On dit que l’on teste H₀ contre H₁ .

Def : On dit que l’hypothèse H₀ est simple si Θ₀ = {θ₀}, sinon elle est dite multiple (ou composite).

En général on prendra comme hypothèse H₀ une hypothèse simple.

Def : Si on teste H₀ : θ = θ₀ contre H₁ : θ = θ₀, alors on dit que le test est bilatéral. Si on teste H₀ : θ = θ₀ contre H₁ : θ > θ₀ (resp. H₁ : θ < θ₀) , alors on dit que le test est unilatéral droit (resp. gauche).

A partir de l’échantillon on observe une valeur de T (x₁, . . . , x_n)  sur laquelle on basera le choix de H₀ ou H₁. T (x₁, . . . , x_n) est appelée statistique de test.

Def. : Soit W une partie de E, appelée région critique ou région de rejet.

–  Si T ∈ W , alors on rejette H₀ et on accepte H1.

–  Si T ∈ W_c, alors on accepte H₀, La partie W_c = E\W est la région d’acceptation.

• Risques associés aux hypothèses

On  prend  une  décision qui  dépend  des  observations, à  chaque  décision on  prend  le  risque de commettre une erreur. Comme la décision est basée sur la variable aléatoire T , on caractérise chaque erreur par sa probabilité, que l’on appelle risque.

Def. :

1.  On appelle risque de 1^re espèce la valeur α(θ) qui est : α(θ) = P_θ(T ∈ W ) = P_θ(T ∈ W |H₀)

avec θ ∈ Θ0, i.e. la probabilité de choisir H1  alors que H0  est vraie (avoir un faux positif),

2.  On appelle risque de 2^e espèce la valeur β(θ) qui est : β(θ) = P_θ(T  ∈ W ) = P_θ(T  ∈ W |H₁)

avec θ ∈ Θ₁, i.e. la probabilité de choisir H₀ alors que H₁ est vraie.

3.  Soit H₀ : θ ∈ Θ₀ hypothèse multiple et α(θ) le risque de première espèce pour θ ∈ Θ₀. On appelle niveau du test la valeur α telle que α = supθ∈Θ₀.

4.  On appelle puissance d’un test la probabilité de rejeter H₀ alors qu’elle est effectivement fausse c’est-à-dire η(θ) = P_θ(T  ∈ W |H1) = 1 − β(θ). On parle de fonction puissance dans le cas d’une hypothèse alternative multiple.

Rq. :

1.  Si H₀ est simple α = α(θ₀).

2.  α et β sont interdépendants car ils dépendent de W et W_c.

3. Plus le risque β est petit, plus le test est puissant. On considérera plus souvent la puissance que l’espérance de 2^eme espèce.

4.  Le niveau correspond à l’erreur maximum que l’on peut commettre en rejetant H₀.

On souhaite de faibles risques d’erreur. L’idéal α=β=0 est impossible donc on trouve un compromis.

APPLICATION AU TEST DU KHI2 :

http://alea.fr.eu.org/j/pdf/khi2.pdf

-test d’adéquation à une loi de probabilité

-test d’homogénéité : comparaison d’échantillons issus de populations différentes

-test d’indépendance sur données qualitatives