Tests d’hypothèses- Généralités

Introduction

Les tests permettent de vérifier la validité de certaines hypothèses faites sur un ou plusieurs paramètres et peuvent être relatifs à une ou plusieurs populations. On peut differencier les tests suivant les hypothèses à tester :

–  tests de conformité : comparer le paramètre inconnu à une valeur théorique.

–  tests d’égalité : comparer entre eux les paramètres de différentes populations.

–  tests d’ajustement : vérifier si la variable observée suit une loi théorique donnée.

– tests d’indépendance : contrôler l’indépendance de deux (ou plusieurs) variables issues d’une même population.

Les deux  premiers sont des tests  paramétriques alors que les deux derniers des tests  non paramétriques.

Vocabulaire et Généralités

  • Test d’hypothèses

Un test consiste à confronter deux hypothèses sur la base de l’information dont on dispose grâce à l’observation de l’échantillon. Un test est compose de 4 éléments :

-observations

-le modèle statistique d’où proviennent les données dépendant d’un paramètre inconnu

-une hypothèse principale portant sur θ, appelée hypothèse nulle

-une règle de décision : on accepte H0 si T (x1, . . . , xn) ∈ W, où W est une zone de valeurs improbable pour T (x1, . . . , xn) sous H0, appelée région de rejet.

  • Hypothèses

On considère le modèle paramétrique (Ω, A{Pθ, θ ∈ Θ}) et T (x1, . . . , xn)  une fonction des observations à valeurs dans E. On sélectionne deux parties de Θ : Θ0 et Θ1 disjointes, mais pas forcement complémentaires et on définit :

–  H0 : θ Θ0 : hypothèse nulle

–  H1 : θ ∈ Θ1 : hypothèse alternative, ie non H0.

On dit que l’on teste H0 contre H1 .

Def : On dit que l’hypothèse H0 est simple si Θ0 = {θ0}, sinon elle est dite multiple (ou composite).

En général on prendra comme hypothèse H0 une hypothèse simple.

Def : Si on teste H0 : θ = θ0 contre H1 : θ = θ0, alors on dit que le test est bilatéral. Si on teste H0 : θ = θ0 contre H1 : θ > θ0 (resp. H1 : θ < θ0) , alors on dit que le test est unilatéral droit (resp. gauche).

A partir de l’échantillon on observe une valeur de T (x1, . . . , xn)  sur laquelle on basera le choix de H0 ou H1. T (x1, . . . , xn) est appelée statistique de test.

Def. : Soit W une partie de E, appelée région critique ou région de rejet.

–  Si T ∈ W , alors on rejette H0 et on accepte H1.

–  Si T ∈ Wc, alors on accepte H0, La partie Wc = E\W est la région d’acceptation.

  • Risques associés aux hypothèses

On  prend  une  décision qui  dépend  des  observations, à  chaque  décision on  prend  le  risque de commettre une erreur. Comme la décision est basée sur la variable aléatoire T , on caractérise chaque erreur par sa probabilité, que l’on appelle risque.

Def. :

1.  On appelle risque de 1re espèce la valeur α(θ) qui est : α(θ) = Pθ(T ∈ W ) = Pθ(T ∈ W |H0)

avec θ ∈ Θ0, i.e. la probabilité de choisir H1  alors que H0  est vraie (avoir un faux positif),

2.  On appelle risque de 2e espèce la valeur β(θ) qui est : β(θ) = Pθ(T  W ) = Pθ(T  W |H1)

avec θ ∈ Θ1, i.e. la probabilité de choisir H0 alors que H1 est vraie.

3.  Soit H0 : θ ∈ Θ0 hypothèse multiple et α(θ) le risque de première espèce pour θ ∈ Θ0. On appelle niveau du test la valeur α telle que α = supθΘ0.

4.  On appelle puissance d’un test la probabilité de rejeter H0 alors qu’elle est effectivement fausse c’est-à-dire η(θ) = Pθ(T  ∈ W |H1) = 1 − β(θ). On parle de fonction puissance dans le cas d’une hypothèse alternative multiple.

rq

Rq. :

1.  Si H0 est simple α = α(θ0).

2.  α et β sont interdépendants car ils dépendent de W et Wc.

3. Plus le risque β est petit, plus le test est puissant. On considérera plus souvent la puissance que l’espérance de 2eme espèce.

4.  Le niveau correspond à l’erreur maximum que l’on peut commettre en rejetant H0.

On souhaite de faibles risques d’erreur. L’idéal α=β=0 est impossible donc on trouve un compromis.

APPLICATION AU TEST DU KHI2 :

http://alea.fr.eu.org/j/pdf/khi2.pdf

-test d’adéquation à une loi de probabilité

-test d’homogénéité : comparaison d’échantillons issus de populations différentes

-test d’indépendance sur données qualitatives

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