Introduction
Les tests permettent de vérifier la validité de certaines hypothèses faites sur un ou plusieurs paramètres et peuvent être relatifs à une ou plusieurs populations. On peut differencier les tests suivant les hypothèses à tester :
– tests de conformité : comparer le paramètre inconnu à une valeur théorique.
– tests d’égalité : comparer entre eux les paramètres de différentes populations.
– tests d’ajustement : vérifier si la variable observée suit une loi théorique donnée.
– tests d’indépendance : contrôler l’indépendance de deux (ou plusieurs) variables issues d’une même population.
Les deux premiers sont des tests paramétriques alors que les deux derniers des tests non paramétriques.
Vocabulaire et Généralités
Un test consiste à confronter deux hypothèses sur la base de l’information dont on dispose grâce à l’observation de l’échantillon. Un test est compose de 4 éléments :
-observations
-le modèle statistique d’où proviennent les données dépendant d’un paramètre inconnu
-une hypothèse principale portant sur θ, appelée hypothèse nulle
-une règle de décision : on accepte H0 si T (x1, . . . , xn) ∈ W, où W est une zone de valeurs improbable pour T (x1, . . . , xn) sous H0, appelée région de rejet.
On considère le modèle paramétrique (Ω, A{Pθ, θ ∈ Θ}) et T (x1, . . . , xn) une fonction des observations à valeurs dans E. On sélectionne deux parties de Θ : Θ0 et Θ1 disjointes, mais pas forcement complémentaires et on définit :
– H0 : θ ∈ Θ0 : hypothèse nulle
– H1 : θ ∈ Θ1 : hypothèse alternative, ie non H0.
On dit que l’on teste H0 contre H1 .
Def : On dit que l’hypothèse H0 est simple si Θ0 = {θ0}, sinon elle est dite multiple (ou composite).
En général on prendra comme hypothèse H0 une hypothèse simple.
Def : Si on teste H0 : θ = θ0 contre H1 : θ = θ0, alors on dit que le test est bilatéral. Si on teste H0 : θ = θ0 contre H1 : θ > θ0 (resp. H1 : θ < θ0) , alors on dit que le test est unilatéral droit (resp. gauche).
A partir de l’échantillon on observe une valeur de T (x1, . . . , xn) sur laquelle on basera le choix de H0 ou H1. T (x1, . . . , xn) est appelée statistique de test.
Def. : Soit W une partie de E, appelée région critique ou région de rejet.
– Si T ∈ W , alors on rejette H0 et on accepte H1.
– Si T ∈ Wc, alors on accepte H0, La partie Wc = E\W est la région d’acceptation.
- Risques associés aux hypothèses
On prend une décision qui dépend des observations, à chaque décision on prend le risque de commettre une erreur. Comme la décision est basée sur la variable aléatoire T , on caractérise chaque erreur par sa probabilité, que l’on appelle risque.
Def. :
1. On appelle risque de 1re espèce la valeur α(θ) qui est : α(θ) = Pθ(T ∈ W ) = Pθ(T ∈ W |H0)
avec θ ∈ Θ0, i.e. la probabilité de choisir H1 alors que H0 est vraie (avoir un faux positif),
2. On appelle risque de 2e espèce la valeur β(θ) qui est : β(θ) = Pθ(T ∈ W ) = Pθ(T ∈ W |H1)
avec θ ∈ Θ1, i.e. la probabilité de choisir H0 alors que H1 est vraie.
3. Soit H0 : θ ∈ Θ0 hypothèse multiple et α(θ) le risque de première espèce pour θ ∈ Θ0. On appelle niveau du test la valeur α telle que α = supθ∈Θ0.
4. On appelle puissance d’un test la probabilité de rejeter H0 alors qu’elle est effectivement fausse c’est-à-dire η(θ) = Pθ(T ∈ W |H1) = 1 − β(θ). On parle de fonction puissance dans le cas d’une hypothèse alternative multiple.
Rq. :
1. Si H0 est simple α = α(θ0).
2. α et β sont interdépendants car ils dépendent de W et Wc.
3. Plus le risque β est petit, plus le test est puissant. On considérera plus souvent la puissance que l’espérance de 2eme espèce.
4. Le niveau correspond à l’erreur maximum que l’on peut commettre en rejetant H0.
On souhaite de faibles risques d’erreur. L’idéal α=β=0 est impossible donc on trouve un compromis.
APPLICATION AU TEST DU KHI2 :
http://alea.fr.eu.org/j/pdf/khi2.pdf
-test d’adéquation à une loi de probabilité
-test d’homogénéité : comparaison d’échantillons issus de populations différentes
-test d’indépendance sur données qualitatives
